Si tu corolla del 2003 es gasolina, puedes que tengas un problema de encendido con alguna bobina, un fallo de bobina es muy común.
Si nunca le has cambiado bujías, lo suyo es cambiarlas, y sustituir la bobina que esté mal.
Para saberlo hará falta enchufarle la diagnosis y te dirá lo que tiene, pero es muy probable que pase esto.
Un motor frío al arrancar es normal que suba el ralentí un poco, pero al rato se tiene que estabilizar y estar estables las rpm.